和差倍比問題是研究不同量之間的和、差、倍數、比例關系的數學應用題，在數學運算中比較容易理解。但此類問題對計算速度和準確度要求較高，考生在平時復習中，應注意培養(yǎng)自己的速算能力。

　　專家認為，按照考查形式，和差倍比問題可以分成兩大類：即和差倍的數量關系和比例關系。其中利用比例問題的基本公式，還可以幫助解決隱含對應比例關系的行程、工程問題。

　　一、明確和差倍的數量關系

　　和差倍問題并沒有統(tǒng)一的背景概念，通常題干敘述一些條件之間的關系，包括：和倍、差倍、和差關系三種。

　　1.和倍關系：已知兩數之和與它們之間的倍數關系，求這兩個數。

　　和÷（倍數＋1）=較小數

　　【示例1】師、徒兩人共加工105個零件，師傅加工的個數比徒弟的3倍還多5個，師傅和徒弟各加工零件多少個？

　　解析：根據題意，徒弟加工的少，可將徒弟的看成1倍量。

　　畫出示意圖：

　　

　　從圖上可以看出，如果師傅少加工5個，則兩人加工的總數少5個，變?yōu)?00個，這時是整數倍，一共有1+3=4倍。1倍量=100÷4=25，即徒弟加工了25個。師傅加工了105-25=80個。

　　2.差倍關系：已知兩數之差與它們之間的倍數關系，求這兩個數。

　　差÷（倍數－1）=較小數

　　【示例2】兩塊同樣長的花布，第一塊賣出31米，第二塊賣出19米后，第二塊是第一塊的4倍，則第一塊花布原有多少米？

　　解析：已知兩塊花布同樣長，由于第一塊賣出的多，第二塊賣出的少，因此第一塊剩下的少，第二塊剩下的多。將第一塊剩下的看成1倍量，畫出示意圖：

　　

　　所剩的布第二塊比第一塊多31-19=12米。又知第二塊所剩下的布是第一塊的4倍，根據差倍公式，差÷（倍數-1）=1倍量，可知第一塊所剩布的長度為12÷（4-1）=4米，則第一塊布原有4+31=35米。

　　3.和差關系：已知兩數之和與差，求這兩個數。

　�。ê停�差）÷2=較大數　　　 （和－差）÷2=較小數

　　【示例3】甲班和乙班共有圖書160本，且甲班的圖書比乙班多20本，甲乙兩班各有多少本圖書？

　　解析：乙班書較少，將乙班的書看成1倍量，則甲班的書減20本等于1倍量，從而有 1+1=2倍量=160-20，所以1倍量為（160-20）÷2=70，即乙班有圖書70本。

　　也可將甲班的書看成1倍量，則乙班的書+20本=1倍量，從而1+1=2倍量=160+20，所以1倍量為（160+20）÷2=90本，即甲班有圖書90本。 二、比例問題

　　比例問題是指分量與總量的比較，或者是分量之間的比較。因此，解決比例問題的關鍵是找準各分量、總量以及分量與總量之間的比例關系，再根據對應的公式進行求解。

　　基本公式：分量÷總量=所占比例，分量÷所占比例=總量，分量=總量×所占比例

　　解題時，需注意兩點：

　�。�1）題干中，如果有明顯的等量關系，且算術方法思路復雜時，可用方程法去解。設未知數時，要注意結合比例關系，避免分數的出現。

　�。�2）根據題干數字特征，尤其是遇到含分數、百分數的題，可結合選項排除。

　　

　　從的方法優(yōu)化來看，題中給出了兩種書的數量和比例變化情況，進一步分析會發(fā)現，拿走４２本文學書后，科技書的數量不變、比例發(fā)生了變化，因此，可快速確定拿走42本文學書前書的總數。

　　

　　【例題2】已知甲、乙兩人共有２６０本書，其中甲的書有１３％是專業(yè)書，乙的書有１２．５％是專業(yè)書，問甲有多少本非專業(yè)書？

　�。粒�７５　　　Ｂ．８７　　�。茫�１７４　　　Ｄ．６７

　　解析：此題的一般思路是設未知數建立方程解出甲的非專業(yè)書數量，但題中除了“甲、乙共有260本書”這個條件外再無其他明確的等量關系，這種方法行不通。

　　從的命題分析來看，題中13%、12.5%兩個百分數實際上是給出相關數量的倍數特征，應該以此為切入點去分析和解決問題。

　　三、在行程、工程問題中的應用

　　解決與工程、行程問題相結合的比例問題時，需要利用工程、行程問題中的相關知識，找出其中隱含的比例與對應量之間的關系，再利用比例問題的公式解題。

　　【例題3】師徒二人加工一批零件，師傅加工一個零件用9分鐘，徒弟加工一個零件用15分鐘。完成任務時，師傅比徒弟多加工100個零件，求師傅和徒弟一共加工了多少個零件？

　　A．200　　　　B．400　　　　C．500　　　　D．600