第二節(jié) 資金時(shí)間價(jià)值 

　　考點(diǎn)一、資金時(shí)間價(jià)值的含義 

　　資金時(shí)間價(jià)值，是指一定量資金在不同時(shí)點(diǎn)上的價(jià)值量差額。 

　　通常情況下，它相當(dāng)于沒有風(fēng)險(xiǎn)也沒有通貨膨脹情況下的社會(huì)平均利潤(rùn)率，是利潤(rùn)平均化規(guī)律發(fā)生作用的結(jié)果。 

　　利率=純粹利率+通貨膨脹補(bǔ)償率+風(fēng)險(xiǎn)收益率 

　　考點(diǎn)二、現(xiàn)值和終值的計(jì)算 

　　終值又稱將來值，是現(xiàn)在一定量的資金折算到未來某一時(shí)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的金額，通常記作F。 

　　現(xiàn)值是指未來某一時(shí)點(diǎn)上的一定量資金折算到現(xiàn)在所對(duì)應(yīng)的金額，通常記作P。 

　　現(xiàn)值和終值是一定量資金在前后兩個(gè)不同時(shí)點(diǎn)上對(duì)應(yīng)的價(jià)值，其差額即為資金的時(shí)間價(jià)值。 

　　(一)單利的現(xiàn)值和終值 

　　1．單利終值 

　　【例題】某人將100元存入銀行，年利率2％，求5年后的終值。 

　　=1OO+1OO×2％×5 =1OO×（1+5×2％）=110（元） 

　　F＝P×（1＋i×n） 

　　2.單利現(xiàn)值 

　　P＝F/（1＋i×n） 

　　【例題】某人為了5年后能從銀行取出500元，在年利率2％的情況下，目前應(yīng)存入銀行的金額是多少？ 

　　P=F／（1+n×i）=500／（1+5×2％）≈454.55（元） 

　　結(jié)論： 

　　(1)單利的終值和單利的現(xiàn)值互為逆運(yùn)算， 

　　(2)單利終值系數(shù)(1+ n×i )和單利現(xiàn)值系數(shù)1／(1+ n×i)互為倒數(shù)。 

　　(二)復(fù)利的現(xiàn)值和終值 

　　復(fù)利計(jì)算方法是指每經(jīng)過一個(gè)計(jì)息期，要將該期所派生的利息加入本金再計(jì)算利息，逐期滾動(dòng)計(jì)算，俗稱“利滾利”。這里所說的計(jì)息期，是指相鄰兩次計(jì)息的間隔，如年、月、日等。除非特別說明，計(jì)息期一般為一年。 

　　1.復(fù)利終值 

　　【例題】某人將100元存入銀行，復(fù)利年利率2％，求5年后的終值。 

　　F＝P（1+1） n =100×（1+2％）5=110.4（元） 

　　F=P（1+i） n 

　　式中，（1+1）n為復(fù)利終值系數(shù)，記作（F／P，i，n），n為計(jì)息期。 

　　2.復(fù)利現(xiàn)值 

　　P=F／（1+i）n 

　　式中，1／（1+i）n為復(fù)利現(xiàn)值系數(shù)，記作（P／F，i，n）；n為計(jì)息期。 

　　【例題】某人為了5年后能從銀行取出100元，在復(fù)利年利率2％的情況下，求當(dāng)前應(yīng)存入金額。 

　　P=F／（1+i）n =100／（1+2％）5＝90.57（元） 

　　結(jié)論： 

　　(1)復(fù)利終值和復(fù)利現(xiàn)值互為逆運(yùn)算； 

　　(2)復(fù)利終值系數(shù)和復(fù)利現(xiàn)值系數(shù)互為倒數(shù)。 

　　(三)年金終值和年金現(xiàn)值的計(jì)算 

　　年金：等期等額收付款項(xiàng)。如交保險(xiǎn)、季交房租； 

　　包括普通年金(后付年金)、即付年金(先付年金)、遞延年金、永續(xù)年金等形式。 

　　普通年金和即付年金是年金的基本形式，都是從第一期開始發(fā)生等額收付，兩者的區(qū)別是普通年金發(fā)生在期末，而朗付年金發(fā)生在期初。 

　　遞延年金和永續(xù)年金是派生出來的年金。遞延年金是從第二期或第二期以后才發(fā)生，而永續(xù)年金的收付期趨向于無窮大。 

　　1．普通年金終值的計(jì)算(已知年金A，求終值F) 

　　圖示：年末存入10000元，利率10%，5年后的本利和。 

　　F=A× =A×(F/A,i,n)=A×普通年金現(xiàn)值系數(shù) 

　　【例題】小王是位熱心于公眾事業(yè)的人，自1995年12月底開始，他每年都要向一位失學(xué)兒童捐款。小王向這位失學(xué)兒童每年捐款1000元，幫助這位失學(xué)兒童從小學(xué)一年級(jí)讀完九年義務(wù)教育。假設(shè)每年定期存款利率都是2％，則小王9年的捐款在2003年底相當(dāng)于多少錢？ 

　　F=1000×（F／A，2％，9）=1000×9.7546=9754.6（元） 

　　【例題】A礦業(yè)公司決定將其一處礦產(chǎn)開采權(quán)公開拍賣，因此它向世界各國(guó)煤炭企業(yè)招標(biāo)開礦。已知甲公司和乙公司的投標(biāo)書最具有競(jìng)爭(zhēng)力，甲公司的投標(biāo)書顯示，如果該公司取得開采權(quán)，從獲得開采權(quán)的第1年開始，每年末向A公司交納10億美元的開采費(fèi)，直到10年后開采結(jié)束。乙公司的投標(biāo)書表示，該公司在取得開采權(quán)時(shí)，直接付給A公司40億美元，在8年后開采結(jié)束，再付給60億美元。如A公司要求的年投資回報(bào)率達(dá)到15%，問應(yīng)接受哪個(gè)公司的投標(biāo)? 

　　甲公司：10億美元的10年年金終值：（第1年末支付） 

　　F=10×（F/A，15%，10）=10×20.304=203.04（億美元） 

　　乙公司：兩筆收款復(fù)利終值： 

　　第1筆收款（40億美元）的終值（第1年初支付） 

　　=40×（1+15%）10 

　　=40×4.0456 

　　=161.824（億美元） 

　　第2筆收款（60億美元）的終值（第9年初支付） 

　　=60×（1+15%）2 

　　=60×1.3225 

　　=79.35（億美元） 

　　終值合計(jì)161.824+79.35=241.174（億美元） 

　　因此，甲公司付出的款項(xiàng)終值小于乙公司付出的款項(xiàng)的終值，應(yīng)接受乙公司的投標(biāo)。 

　　2.償債基金的計(jì)算 

　　償債基金是指為了在約定的未來某一時(shí)點(diǎn)清償某筆債務(wù)或積聚一定數(shù)額的資金而必須分次等額形成的存款準(zhǔn)備金。也就是為使年金終值達(dá)到既定金額的年金數(shù)額(即已知終值F，求年金A)。 

　　在普通年金終值公式中解出A，這個(gè)A就是償債基金。計(jì)算公式如下： 

　　式中， 稱為“償債基金系數(shù)”，記作（A/F，i，n）。 

　　【例題】某人擬在5年后還清10000元債務(wù)，從現(xiàn)在起每年末等額存入銀行一筆款項(xiàng)。假設(shè)銀行利率為10％，則每年需存入多少元？ 

　　解答： 

　　方法1： 

　　根據(jù)公式A＝F×i/[（1+i）n-1] 

　�。�10000× 10％/[（1+10％）5-1] 

　　方法2： 

　　＝10000×（A／F，10％，5）（注：償債基金系數(shù)：年金終值系數(shù)的倒數(shù)） 

　�。�10000×0.1638 

　�。�1638（元） 

　　【結(jié)論】 

　　（1）償債基金和普通年金終值互為逆運(yùn)算； 

　　（2）償債基金系數(shù)和普通年金終值系數(shù)互為倒數(shù)。 

　　3.普通年金現(xiàn)值 

　　普通年金現(xiàn)值的計(jì)算實(shí)際上就是已知年金A，求普通年金現(xiàn)值P。 

　　P=A× =A×(P/A,i,n)=A×普通年金現(xiàn)值系數(shù) 

　　【例題】某投資項(xiàng)目于2000年初動(dòng)工，設(shè)當(dāng)年投產(chǎn)，從投產(chǎn)之日起每年可得收益40000元。按年利率6%計(jì)算，計(jì)算預(yù)期10年收益的現(xiàn)值。 

　　【解答】P＝40000×（P/A，6%，10） 

　�。�40000×7.3601 

　　＝294404（元） 

　　【例題】錢小姐最近準(zhǔn)備買房，看了好幾家開發(fā)商的售房方案，其中一個(gè)方案是A開發(fā)商出售一套100平方米的住房，要求首期支付10萬元，然后分6年每年年末支付3萬元。錢小姐很想知道每年付3萬元相當(dāng)于現(xiàn)在多少錢，好讓她與現(xiàn)在2000元/平方米的市場(chǎng)價(jià)格進(jìn)行比較。（貸款利率為6%） 

　　【解答】P=3×（P/A，6%，6）=3×4.9173=14.7519（萬元） 

　　錢小姐付給A開發(fā)商的資金現(xiàn)值為：10+14.7519=24.7519（萬元） 

　　如果直接按每平方米2000元購買，錢小姐只需要付出20萬元，可見分期付款對(duì)她不合算。 

　　4.年資本回收額的計(jì)算 

　　年資本回收額是指在約定年限內(nèi)等額回收初始投入資本或清償所欠債務(wù)的金額。年資本回收額的計(jì)算實(shí)際上是已知普通年金現(xiàn)值P，求年金A。 

　　上式中， 稱為資本回收系數(shù)，記作（A/P，i，n）。 

　　【例題】某企業(yè)借得1000萬元的貸款，在10年內(nèi)以年利率12％等額償還，則每年應(yīng)付的金額為多少？ 

　　解答：A=1000×12％/[1-（1+12％）-10] 

　　=1000×1/（P/A，12％，10） 

　　=1000×1/5.6502 

　　≈177（萬元） 

　　【結(jié)論】 

　�。�1）年資本回收額與普通年金現(xiàn)值互為逆運(yùn)算； 

　�。�2）資本回收系數(shù)與年金現(xiàn)值系數(shù)互為倒數(shù)。 

　　5.即付年金終值的計(jì)算 

　　即付年金的終值是指把即付年金每個(gè)等額A都換算成第n期期末的數(shù)值，再來求和。 

　　即付年金種植的計(jì)算公式為： 

　　方法一： F＝A×(F/A，i，n)×(1＋i)＝普通年金終值×(1＋i) 

　　方法二： 

　　即付年金終值＝年金額×即付年金終值系數(shù)(在普通年金終值系數(shù)基礎(chǔ)上期數(shù)加1，系數(shù)減1) 

　　F＝A×[(F/A，i，n＋1)-1] 

　　【例題】為給兒子上大學(xué)準(zhǔn)備資金，王先生連續(xù)6年于每年年初存入銀行3000元。若銀行存款利率為5%，則王先生在第6年末能一次取出本利和多少錢? 

　　【解答】 

　　【方法一】F=3000×（F/A，5%，6）×（1+5%）=21426（元） 

　　【方法二】F=A×[（F/A，i，n+1）-1] 

　　=3000×[（F/A，5%，7）-1] 

　　=3000×（8.1420-1） 

　　=21426（元） 

　　6.即付年金現(xiàn)值 

　　即付年金的現(xiàn)值就是把即付年金每個(gè)等額的A都換算成第一期期初的數(shù)值即第0期期末的數(shù)值，再求和。即付年金現(xiàn)值的計(jì)算就是已知每期期初等額收付的年金A，求現(xiàn)值P。 

　　方法一： 

　�。紸?（P/A，i，n）（1＋i） 

　　方法二：期數(shù)減1，系數(shù)加1 

　　【例題】張先生采用分期付款方式購入商品房一套，每年年初付款15 000元，分l0年付清。若銀行利率為6%，該項(xiàng)分期付款相當(dāng)于一次現(xiàn)金支付的購買價(jià)是多少? 

　　解答： 

　　方法一： 

　　P＝A?（P/A，i，n）（1＋i） 

　　＝15 000×[（P/A，6%，l0）×（1＋6%）] 

　�。�15 000×[7.3601×（1＋6%）] 

　�。�15 000×7.8017 

　　＝117 025.5（元） 

　　方法二： 

　　P＝A?{（P/A，i，n-1）+1} 

　�。�15 000×[（P/A，6%，9）+1] 

　　＝15 000×[6.8017+1] 

　�。�117 025.5（元） 

　　7.遞延年金終值 

　　定義：例如分期付款，前5年不支付，第6年起到15年，每年末支付18萬元。 

　　遞延年金的終值計(jì)算與普通年金的終值計(jì)算一樣，只是要注意期數(shù)。 

　　F＝A（F/A，i，n） 

　　式中，“n”表示的是A的個(gè)數(shù)，與遞延期無關(guān)。 

　　【例題】某投資者擬購買一處房產(chǎn)，開發(fā)商提出了三個(gè)付款方案： 

　　方案一是現(xiàn)在起15年內(nèi)每年末支付10萬元； 

　　方案二是現(xiàn)在起15年內(nèi)每年初支付9.5萬元； 

　　方案三是前5年不支付，第六年起到15年每年末支付18萬元。 

　　假設(shè)按銀行貸款利率10%復(fù)利計(jì)息，若采用終值方式比較，問哪一種付款方式對(duì)購買者有利？ 

　　解答： 

　　方案一：F＝10×（F/A，10%，15） 

　�。�10×31.772＝317.72（萬元） 

　　方案二：F＝9.5×[（F/A，10%，15）（1＋10%）] 

　�。�332.03（萬元） 

　　方案三：F＝18×（F/A，10%，10）＝18×15.937＝286.87（萬元） 

　　從上述計(jì)算可得出，采用第三種付款方案對(duì)購買者有利。 

　　8.遞延年金現(xiàn)值 

　　圖示：例如分期付款，前5年不支付，第6年起到15年，每年末支付18萬元。 

　　計(jì)算方法一： 

　　先將遞延年金視為n期普通年金，求出在m期普通年金現(xiàn)值，然后再折算到第一期期初： 

　　P0＝A×（P/A，i，n）×（P/F，i，m） 

　　式中，m為遞延期，n為連續(xù)收支期數(shù)。 

　　計(jì)算方法二： 

　　先計(jì)算m＋n期年金現(xiàn)值，再減去m期年金現(xiàn)值： 

　　P0＝A×[（P/A，i，m＋n）-（P/A，i，m）] 

　　計(jì)算方法三： 

　　先求遞延年金終值再折現(xiàn)為現(xiàn)值： 

　　P0＝A×（F/A，i，n）×（P/F，i，m＋n） 

　　【例題】某企業(yè)向銀行借入一筆款項(xiàng)，銀行貸款的年利率為10%，每年復(fù)利一次。銀行規(guī)定前l(fā)0年不用還本付息，但從第11年～第20年每年年末償還本息5 000元。 

　　要求：用兩種方法計(jì)算這筆款項(xiàng)的現(xiàn)值。 

　　解答：方法一： 

　　P＝A×（P/A，10%，l0）×（P/F，10%，l0） 

　　＝5 000×6.145×0.386 

　　＝11 860（元） 

　　方法二： 

　　P＝A×[（P/A，10%，20）-（P/A，10%，l0）] 

　�。�5 000×[8.514-6.145] 

　�。�11 845（元） 

　　兩種計(jì)算方法相差l5元，是因小數(shù)點(diǎn)的尾數(shù)造成的。 

　　9．永續(xù)年金的現(xiàn)值 

　　永續(xù)年金的現(xiàn)值可以看成是一個(gè)n無窮大后付年金的現(xiàn)值. 

　　P（n→∞）＝A[1-（1＋i）-n]/i＝A/i 

　　【例題】歸國(guó)華僑吳先生想支持家鄉(xiāng)建設(shè)，特地在祖籍所在縣設(shè)立獎(jiǎng)學(xué)金。獎(jiǎng)學(xué)金每年發(fā)放一次，獎(jiǎng)勵(lì)每年高考的文理科狀元各10 000元。獎(jiǎng)學(xué)金的基金保存在中國(guó)銀行該縣支行。銀行一年的定期存款利率為2%。問吳先生要投資多少錢作為獎(jiǎng)勵(lì)基金? 

　　解答：由于每年都要拿出20 000元，因此獎(jiǎng)學(xué)金的性質(zhì)是一項(xiàng)永續(xù)年金，其現(xiàn)值應(yīng)為： 

　　20 000/2%＝1 000 000（元） 

　　也就是說，吳先生要存入1 000 000元作為基金，才能保證這一獎(jiǎng)學(xué)金的成功運(yùn)行。 

　　【例題•單選題】某公司從本年度起每年年末存入銀行一筆固定金額的款項(xiàng)，若按復(fù)利用最簡(jiǎn)便算法計(jì)算第n年末可以從銀行取出的本利和，則應(yīng)選用的時(shí)間價(jià)值系數(shù)是（ ）。 

　　A.復(fù)利終值數(shù) 

　　B.復(fù)利現(xiàn)值系數(shù) 

　　C.普通年金終值系數(shù) 

　　D.普通年金現(xiàn)值系數(shù) 

　　【答案】C 

　　【例題•單選題】根據(jù)資金時(shí)間價(jià)值理論，在普通年金現(xiàn)值系數(shù)的基礎(chǔ)上，期數(shù)減1、系數(shù)加1的計(jì)算結(jié)果，應(yīng)當(dāng)?shù)扔冢?nbsp;）。 

　　A.遞延年金現(xiàn)值系數(shù) B.后付年金現(xiàn)值系數(shù) 

　　C.即付年金現(xiàn)值系數(shù) D.永續(xù)年金現(xiàn)值系數(shù) 

　　【答案】C 

　　【例題•單選題】在下列各項(xiàng)資金時(shí)間價(jià)值系數(shù)中，與資本回收系數(shù)互為倒數(shù)關(guān)系的是（ ）。 

　　A.（P/F，I，n） B.（P/A，I，n） 

　　C.（F/P，I，n） D.（F/A，I，n） 

　　【答案】B 

　　【例題•判斷題】在有關(guān)資金時(shí)間價(jià)值指標(biāo)的計(jì)算過程中，普通年金現(xiàn)值與普通年金終值是互為逆運(yùn)算的關(guān)系。（ ） 

　　【答案】×